树状数组（Binary Indexed）

Tue, 10 Mar 2020 17:30:00 +0000

首先很感谢B站up主鹤翔万里的视频, 推荐看 https://www.bilibili.com/video/av69667943?from=search&seid=10916758362943551299 本文为这个视频集合算法笔记写的总结

问题引入：给出了一个长度为n的数组，完成以下两种操作

输出区间[x, y]内每个数字的和
将第x个数加上k

最基础的算法：

维护一个sum数组，其sum[i]记录的为从0-i的和。其递推计算关系为sum[i] = sum[i-1] + nums[i]其中sum[0] = nums[0]。
计算区间和即可使用sum_xy = sum[y] - sum[x-1]。
将第x个数加上v, 因为要更新sum[x]...sum[n]所有值，因此其时间复杂度为$O(n)$
如果进行k次操作add则时间复杂度为$O(kn)$，k次求区间和的时间复杂度为$O(k)$

在更新频繁的很多场景下$O(kn)$的时间复杂度是不可接受的。

因此引入树状数组来解决此问题。

树状数组(Binary Indexed Tree)：单点修改$O(logn)$，区间查询$O(logn)$，因此在区间内多次修改查询的速度为$O(klogn)$

LowBit 运算

非负证数n在二进制表示下最低为1及其后面的0构成的数值。例如:

$$lowbit(20) = lowbit(10100) = (100) = 4$$

如何操作呢:

c++代码

int lowbit(unsigned int n) {
    /**
     *  10100  20
     *  01100  20的补码
     * &------
     *  00100->lowbit
    */
    unsigned int complement_n = ~n + 1; // 求补码，如果是int的话直接 -n即可
    return n & complement_n; 
}
// 或者

int lowbit(int n) {
    return n & (-n)
}

python代码

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树状数组（Binary Indexed）

LowBit 运算